y%3Dx%5E2.jpeg "(d^2-3d+2)y=x^2")
Persamaan Differensial "(d^2-3d+2)y=x^2"
Persamaan differensial adalah salah satu konsep dasar dalam matematika yang mempelajari tentang perubahan dan laju perubahan suatu fungsi. Salah satu bentuk persamaan differensial yang relatif sederhana adalah persamaan differensial yang memiliki bentuk "(d^2-3d+2)y=x^2". Artikel ini akan membahas tentang persamaan differensial tersebut dan bagaimana cara menyelesaikannya.
Definisi Persamaan Differensial
Persamaan differensial adalah suatu persamaan yang melibatkan fungsi dan turunannya. Persamaan differensial dapat ditulis dalam bentuk:
dy/dx = f(x,y)
dimana dy/dx adalah turunan dari fungsi y terhadap x, dan f(x,y) adalah fungsi yang menggunakan variabel x dan y.
Persamaan Differensial "(d^2-3d+2)y=x^2"
Persamaan differensial "(d^2-3d+2)y=x^2" dapat ditulis dalam bentuk:
(d^2-3d+2)y = x^2
dimana d adalah operator differensial dan y adalah fungsi yang tidak diketahui. Persamaan ini memiliki derajat dua, karena memiliki turunan ke dua dari fungsi y.
Cara Menyelesaikan Persamaan Differensial
Untuk menyelesaikan persamaan differensial "(d^2-3d+2)y=x^2", kita dapat menggunakan metode yang disebut metode langsung. Metode ini melibatkan penggunaan fungsi yang kita ketahui sehingga kita dapat menemukan fungsi y yang tidak diketahui.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan differensial adalah sebagai berikut:
Langkah 1: Mencari Fungsi Particular
Cari fungsi particular yang memenuhi persamaan differensial. Fungsi particular ini dapat ditulis dalam bentuk:
yp = Ae^mx
dimana A dan m adalah konstanta yang akan kita cari.
Langkah 2: Mencari Fungsi Umum
Cari fungsi umum yang memenuhi persamaan differensial. Fungsi umum ini dapat ditulis dalam bentuk:
y = yp + yc
dimana yc adalah fungsi complementer.
Langkah 3: Menentukan Konstanta
Tentukan konstanta A dan m dengan menggunakan syarat awal atau syarat batas.
Langkah 4: Menulis Fungsi y
Tulis fungsi y yang telah kita cari.
Contoh Soal
Cari fungsi y yang memenuhi persamaan differensial "(d^2-3d+2)y=x^2" dengan syarat awal y(0) = 1 dan y'(0) = 2.
Jawaban
Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan metode langsung. Fungsi particular yang memenuhi persamaan differensial adalah:
yp = Ae^mx
Turunan pertama dan kedua dari fungsi particular ini adalah:
yp' = mAe^mx
yp'' = m^2Ae^mx
Substitusikan fungsi particular dan turunannya ke dalam persamaan differensial, kita dapatkan:
m^2Ae^mx - 3mAe^mx + 2Ae^mx = x^2
Comparing the coefficient of x^2, kita dapatkan:
m^2 - 3m + 2 = 0
Menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut, kita dapatkan:
m = 1 dan m = 2
Dengan demikian, kita dapatkan dua fungsi particular:
yp1 = Ae^x
yp2 = Ae^2x
Fungsi umum yang memenuhi persamaan differensial adalah:
y = yp1 + yp2 = Ae^x + Be^2x
Turunan pertama dari fungsi umum ini adalah:
y' = Ae^x + 2Be^2x
Substitusikan syarat awal y(0) = 1 dan y'(0) = 2, kita dapatkan:
A + B = 1
A + 2B = 2
Menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut, kita dapatkan:
A = 1 dan B = 0
